% analyse2.tex --- analyse, niveau supérieur
% !TeX program = lualatex
% Compilation : lualatex --shell-escape (les calculs formels exécutent Python)
\documentclass[marges=20, taille=11, precision=3]{texecole}
\begin{document}

soit h1 = <bleu marine gras section num>
soit h2 = <bleu italique sous-section>

<h1>Analyse — supérieur


<h2>Opérateurs différentiels

Le gradient $gradient(f)$, la divergence $divergence(F)$, le rotationnel $rotationnel(F)$, le laplacien $laplacien(f)$ et la dérivée directionnelle $dérivée directionnelle(f; v)$.

<h2>Notation de Landau

Les comparaisons asymptotiques sont les mots explicites $O(...)$ et
$o(...)$ :
$exp(x) = 1 + x + o(x)$ quand $x to 0$, et
$somme(k=1;n) k = n^2/2 + O(n)$.

<h2>Transformées intégrales

Les transformées se nomment : $la transformée de Laplace(f)$ et
$la transformée de Fourier(f)$, d'inverses $l'inverse de Laplace(f)$ et $l'inverse de Fourier(f)$, avec
$l'inverse de Laplace(la transformée de Laplace(f)) = f$.

<h2>Calcul formel du supérieur

<Simplifie>(x^2 - 1)/(x - 1)

<Décompose>en éléments simples (x+1)/(x^2-1)

<Résous>dans CC l'équation x^2 + 1 = 0

<Résous>dans les entiers l'équation 2x = 4

<h2>Sommes et produits en forme close

<Calcule>la somme de k^2 pour k de 1 à n

<Calcule>le produit de k pour k de 1 à n

<h2>Équations différentielles et aux dérivées partielles

<Résous>l'équation différentielle y'' + 4y = 0

<Résous>l'équation différentielle N' = -0,12N, d'inconnue N(t)

<Résous>l'équation aux dérivées partielles u_x + u_y = u

<h2>Intégrales exactes et impropres

<Soit>une fonction g(x) = x * exp(x)

<Calcule>l'intégrale de g entre 0 et 1

<Soit>les fonctions p(x) = 1/x^2 et q(x) = 1/x

<Détermine>la nature de l'intégrale de p entre 1 et +infini

<Détermine>la nature de l'intégrale de q entre 1 et +infini

<h2>Équivalents

<Soit>une fonction m(x) = sin(x) - x

<Calcule>un équivalent de m en 0

<Soit>une fonction n(x) = (x^2 + 1) / (x - 3)

<Calcule>un équivalent de n en +infini

<h2>Séries numériques

<Détermine>la nature de la série de terme général 1/n^2

<Détermine>la nature de la série de terme général 1/n

<h2>Fonctions de plusieurs variables

<Soit>une fonction psi(x, y) = x^3 - 3x + y^2

<Calcule>le gradient de psi

<Calcule>la matrice hessienne de psi

<Calcule>la dérivée partielle de psi par rapport à y

<Détermine>les points critiques de psi

<h2>Fourier, Laplace et wronskien, calculés

<Soit>une fonction cr(x) = x

<Calcule>la série de Fourier de cr sur [-pi ; pi] à l'ordre 4

<Soit>une fonction ex(t) = exp(-2t)

<Calcule>la transformée de Laplace de ex

<Soit>une fonction Fp(p) = 1 / (p^2 + 1)

<Calcule>la transformée de Laplace inverse de Fp

<Soit>les fonctions co(x) = cos(x) et si(x) = sin(x)

<Calcule>le wronskien de co et si

<Soit>les fonctions li(x) = x et lj(x) = 2x

<Calcule>le wronskien de li et lj

\end{document}