% algebre2.tex --- algèbre linéaire : niveau supérieur
% !TeX program = lualatex
% Compilation : lualatex --shell-escape (les calculs formels exécutent Python)
\documentclass[marges=15, taille=11, precision=3]{texecole}
\begin{document}

soit h1 = <bleu marine gras section num>
soit h2 = <bleu italique sous-section>

<h1>Algèbre — supérieur


<h2>Valeurs propres et diagonalisation

<Soit>la matrice A {
	2 ; 1
	1 ; 2
}

<Détermine>les valeurs propres de A

<Diagonalise A>

Une matrice à valeur propre double :

<Soit>la matrice B {
	3 ; 0
	0 ; 3
}

<Détermine>les valeurs propres de B

<h2>Polynômes et fractions rationnelles

<Décompose>en éléments simples (3x+1)/(x^2 - x)

<Calcule>la somme de k^3 pour k de 1 à n

<h2>Rang, noyau, image

<Soit>la matrice C {
	1 ; 2 ; 3
	2 ; 4 ; 6
	1 ; 0 ; 1
}

<Calcule>le rang de C

<Détermine>le noyau de C

<Détermine>l'image de C

<h2>Réduction : polynômes caractéristique et minimal, trigonalisation

<Soit>la matrice D {
	3 ; 1 ; 0
	0 ; 3 ; 0
	0 ; 0 ; 2
}

<Calcule>le polynôme caractéristique de D

<Calcule>le polynôme minimal de D

<Trigonalise>D

<h2>Polynômes formels

<Effectue>la division euclidienne de X^3 + 2X - 1 par X^2 + 1

<Calcule>le PGCD de X^3 - 1 et X^2 - 1

<Factorise>X^4 - 1 dans R[X]

<Factorise>X^4 - 1 dans C[X]

\end{document}